Обратное гамма-распределение - Inverse-gamma distribution

Обратная гамма

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \alpha >0}$ форма (настоящий ) ${\displaystyle \beta >0}$ масштаб (настоящий )
Поддержка	${\displaystyle x\in (0,\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {\beta }{x}}\right)}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}\!}$
Значить	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}\!}$ для ${\displaystyle \alpha >1}$
Режим	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}\!}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}\!}$ для ${\displaystyle \alpha >2}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}\!}$ для ${\displaystyle \alpha >3}$
Ex. эксцесс	${\displaystyle {\frac {6(5\,\alpha -11)}{(\alpha -3)(\alpha -4)}}\!}$ для ${\displaystyle \alpha >4}$
Энтропия	${\displaystyle \alpha \!+\!\ln(\beta \Gamma (\alpha ))\!-\!(1\!+\!\alpha )\psi (\alpha )}$ (увидеть функция дигаммы )
MGF	Не существует.
CF	${\displaystyle {\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)}$

В теория вероятности и статистика, то обратное гамма-распределение является двухпараметрическим семейством непрерывных распределения вероятностей на позитиве реальная линия, которое является распределением взаимный переменной, распределенной согласно гамма-распределение. Возможно, основное использование обратного гамма-распределения заключается в Байесовская статистика, где распределение возникает как маргинальное апостериорное распределение для неизвестного отклонение из нормальное распределение, если малоинформативный приор используется, и как аналитически поддающийся обработке сопряженный предшествующий, если требуется информативная предварительная информация.

Однако среди байесовцев принято рассматривать альтернативу. параметризация из нормальное распределение с точки зрения точность, определяемый как величина, обратная дисперсии, что позволяет использовать гамма-распределение непосредственно в качестве сопряженного априорного значения. Другие байесовцы предпочитают иначе параметризовать обратное гамма-распределение, так как масштабированное обратное распределение хи-квадрат.

Характеристика

Функция плотности вероятности

Обратное гамма-распределение функция плотности вероятности определяется над поддержка ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)}$

с участием параметр формы ${\displaystyle \alpha }$ и масштабный параметр ${\displaystyle \beta }$.^[1] Вот ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ обозначает гамма-функция.

в отличие от Гамма-распределение, который содержит несколько похожий экспоненциальный член, ${\displaystyle \beta }$ - масштабный параметр, так как функция распределения удовлетворяет:

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}}$

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения это регуляризованная гамма-функция

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!}$

где числитель - верхний неполная гамма-функция а знаменатель - это гамма-функция. Многие математические пакеты позволяют напрямую вычислять ${\displaystyle Q}$, регуляризованная гамма-функция.

Моменты

В п-й момент обратного гамма-распределения определяется выражением^[2]

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.}$

Характеристическая функция

${\displaystyle K_{\alpha }(\cdot )}$ в выражении характеристическая функция это модифицированный Функция Бесселя 2-го рода.

Свойства

Для ${\displaystyle \alpha >0}$ и ${\displaystyle \beta >0}$,

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,}$

и

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

В информационная энтропия является

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \psi (\alpha )}$ это функция дигаммы.

В Расхождение Кульбака-Лейблера обратной гаммы (α_п, β_п) из обратной гаммы (α_q, β_q) совпадает с KL-расходимостью Gamma (α_п, β_п) из гаммы (α_q, β_q):

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

где ${\displaystyle \rho ,\pi }$ являются pdf-распределениями обратного гамма-распределения и ${\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}}$ - pdf-файлы гамма-распределений, ${\displaystyle Y}$ это Гамма (α_п, β_п) распределены.

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

Связанные дистрибутивы

• Если ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ тогда ${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$ тогда ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$ (обратное распределение хи-квадрат )
• Если ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ тогда ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$ (масштабированное обратное распределение хи-квадрат )
• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$ тогда ${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$ (Распределение Леви )
• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)}$ тогда ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,}$ (Экспоненциальное распределение )
• Если ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$ (Гамма-распределение с участием показатель параметр ${\displaystyle \beta }$) тогда ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$ (подробности см. в выводе в следующем абзаце)
• Обратите внимание, что если Икс ~ Гамма (k, θ) (Гамма-распределение с масштабным параметром θ ), то 1 /Икс ~ Инв-Гамма (k, θ⁻¹)
• Обратное гамма-распределение - частный случай типа 5. Распределение Пирсона
• А многомерный обобщением обратного гамма-распределения является обратное распределение Вишарта.
• О распределении суммы независимых инвертированных гамма-переменных см. Витковский (2001).

Вывод из гамма-распределения

Позволять ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$, и напомним, что PDF-файл гамма-распределение является

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$, ${\displaystyle x>0}$.

Обратите внимание, что ${\displaystyle \beta }$ - параметр скорости с точки зрения гамма-распределения.

Определите преобразование ${\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}}$. Затем PDF-файл ${\displaystyle Y}$ является

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle \beta }$ - масштабный параметр с точки зрения обратного гамма-распределения.

Вхождение

Смотрите также

• Гамма-распределение
• Обратное распределение хи-квадрат
• Нормальное распределение

использованная литература

1. «InverseGammaDistribution - документация по языку Wolfram Language». reference.wolfram.com. Получено 9 апреля 2018.
2. Джон Д. Кук (3 октября 2008 г.). "InverseGammaDistribution" (PDF). Получено 3 декабря 2018.

• Хофф, П. (2009). «Первый курс байесовских статистических методов». Springer.
• Витковский, В. (2001). «Вычисление распределения линейной комбинации инвертированных гамма-переменных». Кибернетика. 37 (1): 79–90. Г-Н  1825758. Zbl  1263.62022.