Распределение Лог-Коши - Log-Cauchy distribution

Лог-Коши

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \mu }$ (настоящий ) ${\displaystyle \displaystyle \sigma >0\!}$ (настоящий)
Поддерживать	${\displaystyle \displaystyle x\in (0,+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],\ \ x>0}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {1}{2}},\ \ x>0}$
Иметь в виду	бесконечный
Медиана	${\displaystyle e^{\mu }\,}$
Дисперсия	бесконечный
Асимметрия	не существует
Бывший. эксцесс	не существует
MGF	не существует

В теории вероятностей a логарифмическое распределение Коши это распределение вероятностей из случайная переменная чей логарифм распространяется в соответствии с Распределение Коши. Если Икс случайная величина с распределением Коши, то Y = ехр (Икс) имеет логарифмическое распределение Коши; аналогично, если Y имеет логарифмическое распределение Коши, то Икс = журнал (Y) имеет распределение Коши.^[1]

Характеристика

Функция плотности вероятности

Распределение log-Коши имеет функция плотности вероятности:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{x\pi \sigma \left[1+\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}},\ \ x>0\\&={1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],\ \ x>0\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \mu }$ это настоящий номер и ${\displaystyle \sigma >0}$.^[1][2] Если ${\displaystyle \sigma }$ известно, параметр масштаба является ${\displaystyle e^{\mu }}$.^[1] ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \sigma }$ соответствуют параметр местоположения и параметр масштаба ассоциированного распределения Коши.^[1][3] Некоторые авторы определяют ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \sigma }$ как место расположения и масштабные параметры логарифмического распределения Коши соответственно.^[3]

За ${\displaystyle \mu =0}$ и ${\displaystyle \sigma =1}$, соответствующая стандартному распределению Коши, функция плотности вероятности сводится к:^[4]

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{x\pi (1+(\ln x)^{2})}},\ \ x>0}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf ) когда ${\displaystyle \mu =0}$ и ${\displaystyle \sigma =1}$ является:^[4]

${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0}$

Функция выживания

В функция выживания когда ${\displaystyle \mu =0}$ и ${\displaystyle \sigma =1}$ является:^[4]

${\displaystyle S(x;0,1)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0}$

Уровень опасности

В степень опасности когда ${\displaystyle \mu =0}$ и ${\displaystyle \sigma =1}$ является:^[4]

${\displaystyle \lambda (x;0,1)=\left({\frac {1}{x\pi \left(1+\left(\ln x\right)^{2}\right)}}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)\right)\right)^{-1},\ \ x>0}$

Уровень опасности уменьшается в начале и в конце распределения, но может быть интервал, в течение которого уровень опасности увеличивается.^[4]

Характеристики

Распределение log-Коши является примером распределение с тяжелым хвостом.^[5] Некоторые авторы считают его "сверхтяжелым хвостом", потому что у него более тяжелый хвост, чем у Распределение Парето -типа тяжелый хвост, т.е. логарифмически убывающий хвост.^[5][6] Как и в случае с распределением Коши, ни одно из нетривиальных моменты логарифмического распределения Коши конечны.^[4] В иметь в виду является моментом, поэтому распределение log-Коши не имеет определенного среднего или стандартное отклонение.^[7][8]

Распределение log-Коши: бесконечно делимый для некоторых параметров, но не для других.^[9] Словно логнормальное распределение, log-t или log-распределение студентов и Распределение Вейбулла, распределение log-Коши является частным случаем обобщенное бета-распределение второго рода.^[10][11] Лог-Коши на самом деле является частным случаем распределения log-t, подобно распределению Коши, являющемуся частным случаем Распределение Стьюдента с 1 степенью свободы.^[12][13]

Поскольку распределение Коши является стабильное распространение, логарифм-Коши является устойчивым в логарифмическом отношении распределением.^[14] Распределения Logstable имеют полюса при x = 0.^[13]

Оценка параметров

В медиана из натуральные логарифмы из образец это робастная оценка из ${\displaystyle \mu }$.^[1] В среднее абсолютное отклонение натуральных логарифмов выборки является робастной оценкой ${\displaystyle \sigma }$.^[1]

Использует

В Байесовская статистика, распределение log-Коши можно использовать для аппроксимации неподходящий Джеффрис -Плотность по холдану, 1 / k, которую иногда предлагают как предварительное распространение для k, где k - оцениваемый положительный параметр.^[15][16] Распределение log-Коши можно использовать для моделирования определенных процессов выживания, когда выбросы или могут произойти экстремальные результаты.^[2][3][17] Примером процесса, в котором логарифмическое распределение Коши может быть подходящей моделью, является время между заражением Вирус ВИЧ и проявление симптомов болезни, которые у некоторых людей могут длиться очень долго.^[3] Он также был предложен в качестве модели для моделей обилия видов.^[18]

Рекомендации

1. Олив, Д.Дж. (23 июня 2008 г.). «Прикладная надежная статистика» (PDF). Университет Южного Иллинойса. п. 86. Архивировано с оригинал (PDF) 28 сентября 2011 г.. Получено 2011-10-18.
2. Линдси, Дж. (2004). Статистический анализ случайных процессов во времени. Издательство Кембриджского университета. стр.33, 50, 56, 62, 145. ISBN  978-0-521-83741-5.
3. Mode, C.J. и Sleeman, C.K. (2000). Случайные процессы в эпидемиологии: ВИЧ / СПИД, другие инфекционные заболевания.. World Scientific. стр.29 –37. ISBN  978-981-02-4097-4.
4. Маршалл, А. И Олькин И. (2007). Распределения жизни: структура непараметрических, полупараметрических и параметрических семейств. Springer. стр.443 –444. ISBN  978-0-387-20333-1.
5. Фальк, М .; Хюслер, Дж. И Рейсс, Р. (2010). Законы малых чисел: крайности и редкие события. Springer. п.80. ISBN  978-3-0348-0008-2.
6. Alves, M.I.F .; де Хаан, Л. и Невес, К. (10 марта 2006 г.). «Статистический вывод для распределений с тяжелыми и сверхтяжелыми хвостами» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 23 июня 2007 г.
7. «Момент». Mathworld. Получено 2011-10-19.
8. Ван, Ю. "Торговля, человеческий капитал и вторичные эффекты технологий: анализ на уровне отрасли". Карлтонский университет: 14.
9. Бондессон, Л. (2003). "О мере Леви логнормального и логарифмического распределений". Методология и вычисления в прикладной теории вероятностей: 243–256. Архивировано из оригинал на 2012-04-25. Получено 2011-10-18.
10. Найт, Дж. И Сатчелл, С. (2001). Распределение прибыли в финансах. Баттерворт-Хайнеманн. п.153. ISBN  978-0-7506-4751-9.
11. Кемп, М. (2009). Последовательность рынка: калибровка модели на несовершенных рынках. Вайли. ISBN  978-0-470-77088-7.
12. Макдональд, Дж. Б. (1981). «Измерение неравенства доходов». В Taillie, C .; Патил, Г.П .; Балдессари, Б. (ред.). Статистические распределения в научной работе: материалы Института перспективных исследований НАТО. Springer. п. 169. ISBN  978-90-277-1334-6.
13. Клейбер, К. и Коц, С. (2003). Статистические распределения размеров в экономике и актуарной науке. Вайли. стр.101 –102, 110. ISBN  978-0-471-15064-0.
14. Пантон, Д. (Май 1993 г.). «Значения функции распределения для стабильных распределений». Компьютеры и математика с приложениями. 25 (9): 17–24. Дои:10.1016 / 0898-1221 (93) 90128-И.
15. Хорошо, И.Дж. (1983). Хорошее мышление: основы вероятности и ее приложения. Университет Миннесоты Press. п. 102. ISBN  978-0-8166-1142-3.
16. Чен, М. (2010). Границы принятия статистических решений и байесовского анализа. Springer. п. 12. ISBN  978-1-4419-6943-9.
17. Lindsey, J.K .; Джонс, Б. и Джарвис, П. (сентябрь 2001 г.). «Некоторые статистические вопросы моделирования фармакокинетических данных». Статистика в медицине. 20 (17–18): 2775–278. Дои:10.1002 / sim.742. PMID  11523082.
18. Zuo-Yun, Y .; и другие. (Июнь 2005 г.). «LogCauchy, log-sech и lognormal распределения численности видов в лесных сообществах». Экологическое моделирование. 184 (2–4): 329–340. Дои:10.1016 / j.ecolmodel.2004.10.011.