Обернутое асимметричное распределение Лапласа - Wrapped asymmetric Laplace distribution

Обернутое асимметричное распределение Лапласа

Функция плотности вероятности Обернутый асимметричный PDF-файл Лапласа с м = 0. Отметим, что κ = 2 и 1/2 кривые являются зеркальными отражениями относительно θ = π
Параметры	${\displaystyle m}$ место расположения ${\displaystyle (0\leq m<2\pi )}$ ${\displaystyle \lambda >0}$ шкала (настоящий) ${\displaystyle \kappa >0}$ асимметрия (настоящий)
Поддерживать	${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$
PDF	(см. статью)
Иметь в виду	${\displaystyle m}$ (круговой)
Дисперсия	${\displaystyle 1-{\frac {\lambda ^{2}}{\sqrt {\left({\frac {1}{\kappa ^{2}}}+\lambda ^{2}\right)\left(\kappa ^{2}+\lambda ^{2}\right)}}}}$ (круговой)
CF	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}e^{imn}}{\left(n-i\lambda /\kappa \right)\left(n+i\lambda \kappa \right)}}}$

В теория вероятности и направленная статистика, а обернутое асимметричное распределение Лапласа это свернутое распределение вероятностей что является результатом "упаковки" асимметричное распределение Лапласа вокруг единичный круг. Для симметричного случая (параметр асимметрии κ = 1) распределение становится обернутым распределением Лапласа. Распределение отношения двух круговых переменных (Z) из двух разных завернутые экспоненциальные распределения будет иметь обернутое асимметричное распределение Лапласа. Эти распределения находят применение в стохастическом моделировании финансовых данных.

Определение

В функция плотности вероятности обернутого асимметричного распределения Лапласа:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f_{AL}(\theta +2\pi k,m,\lambda ,\kappa )\\[10pt]&={\begin{cases}{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{1-e^{-2\pi \kappa \lambda }}}-{\dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{1-e^{2\pi \lambda /\kappa }}}&{\text{if }}\theta \geq m\\[12pt]{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{e^{2\pi \lambda \kappa }-1}}-{\dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1}}&{\text{if }}\theta <m\end{cases}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle f_{AL}}$ это асимметричное распределение Лапласа. Угловой параметр ограничен ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$. Параметр масштаба ${\displaystyle \lambda >0}$ который является масштабным параметром развернутого распределения и ${\displaystyle \kappa >0}$ - параметр асимметрии развернутого распределения.

Характеристическая функция

В характеристическая функция обернутого асимметричного Лапласа - это просто характеристическая функция асимметричной функции Лапласа, вычисленная с целочисленными аргументами:

${\displaystyle \varphi _{n}(m,\lambda ,\kappa )={\frac {\lambda ^{2}e^{imn}}{\left(n-i\lambda /\kappa \right)\left(n+i\lambda \kappa \right)}}}$

что дает альтернативное выражение для обернутой асимметричной PDF Лапласа в терминах круговой переменной г = е^{я (θ-м)} справедливо для всех действительных θ и м:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{WAL}(z;m,\lambda ,\kappa )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\varphi _{n}(0,\lambda ,\kappa )z^{-n}\\[10pt]&={\frac {\lambda }{\pi (\kappa +1/\kappa )}}{\begin{cases}{\textrm {Im}}\left(\Phi (z,1,-i\lambda \kappa )-\Phi \left(z,1,i\lambda /\kappa \right)\right)-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]\coth(\pi \lambda \kappa )+\coth(\pi \lambda /\kappa )&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \Phi ()}$ это Лерх трансцендентный функция, а coth () - это гиперболический котангенс функция.

Круговые моменты

В терминах круговой переменной ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$ Круговые моменты обернутого асимметричного распределения Лапласа являются характеристической функцией асимметричного распределения Лапласа, вычисленного при целочисленных аргументах:

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\varphi _{n}(m,\lambda ,\kappa )}$

Тогда первый момент - это среднее значение z, также известный как средний результирующий или средний результирующий вектор:

${\displaystyle \langle z\rangle ={\frac {\lambda ^{2}e^{im}}{\left(1-i\lambda /\kappa \right)\left(1+i\lambda \kappa \right)}}}$

Средний угол ${\displaystyle (-\pi \leq \langle \theta \rangle \leq \pi )}$

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\arg(\,\langle z\rangle \,)=\arg(e^{im})}$

а длина среднего результата равна

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |={\frac {\lambda ^{2}}{\sqrt {\left({\frac {1}{\kappa ^{2}}}+\lambda ^{2}\right)\left(\kappa ^{2}+\lambda ^{2}\right)}}}.}$

Тогда круговая дисперсия равна 1 -р

Генерация случайных величин

Если X - случайная переменная, полученная из асимметричного распределения Лапласа (ALD), то ${\displaystyle Z=e^{iX}}$ будет круговой вариацией, взятой из обернутой ALD, и, ${\displaystyle \theta =\arg(Z)+\pi }$ будет угловой вариацией, взятой из обернутой ALD с ${\displaystyle 0<\theta \leq 2\pi }$.

Поскольку ALD - это распределение разницы двух переменных, взятых из экспоненциальное распределение, то если Z₁ извлекается из экспоненциального распределения со средним м₁ и оценить λ / κ и Z₂ извлекается из экспоненциального распределения со средним м₂ и оценить λκ, тогда Z₁/Z₂ будет круговой вариацией, взятой из обернутой ALD с параметрами ( м₁ - м₂ , λ, κ) и ${\displaystyle \theta =\arg(Z_{1}/Z_{2})+\pi }$ будет угловой вариацией, взятой из обернутого ALD с ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$.

Смотрите также

• Распространение в оболочке
• Направленная статистика

Рекомендации

1. Джаммаламадака, С. Рао; Козубовский, Томаш Дж. (2004). «Новые семейства обернутых распределений для моделирования асимметричных данных» (PDF). Коммуникации в статистике - теория и методы. 33 (9): 2059–2074. Дои:10.1081 / STA-200026570. Получено 2011-06-13.