Распределение заусенцев - Burr distribution

Заусенец типа XII

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle c>0\!}$ ${\displaystyle k>0\!}$
Поддерживать	${\displaystyle x>0\!}$
PDF	${\displaystyle ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\!}$
CDF	${\displaystyle 1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu _{1}=k\operatorname {\mathrm {B} } (k-1/c,\,1+1/c)}$ где Β () - бета-функция
Медиана	${\displaystyle \left(2^{\frac {1}{k}}-1\right)^{\frac {1}{c}}}$
Режим	${\displaystyle \left({\frac {c-1}{kc+1}}\right)^{\frac {1}{c}}}$
Дисперсия	${\displaystyle -\mu _{1}^{2}+\mu _{2}}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2\mu _{1}^{3}-3\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{3}}{\left(-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}\right)^{3/2}}}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {-3\mu _{1}^{4}+6\mu _{1}^{2}\mu _{2}-4\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{4}}{\left(-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}\right)^{2}}}-3}$ где моменты (видеть ) ${\displaystyle \mu _{r}=k\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {ck-r}{c}},\,{\frac {c+r}{c}}\right)}$
CF	${\displaystyle ={\frac {c(-it)^{kc}}{\Gamma (k)}}H_{1,2}^{2,1}\!\left[(-it)^{c}\left|{\begin{matrix}(-k,1)\\(0,1),(-kc,c)\end{matrix}}\right.\right],t\neq 0}$ ${\displaystyle =1,t=0}$ куда ${\displaystyle \Gamma }$ это Гамма-функция и ${\displaystyle H}$ это Фокс H-функция.[1]

В теория вероятности, статистика и эконометрика, то Распределение заусенцев XII типа или просто Распределение заусенцев^[2] это непрерывное распределение вероятностей для неотрицательного случайная переменная. Он также известен как Распределение Сингха-Маддалы^[3] и является одним из множества различных распределений, иногда называемых "обобщенным логистическая дистрибуция ". Это чаще всего используется для моделирования семейный доход см. например: Семейный доход в США и сравнить с пурпурный график справа.

Распределение Burr (Тип XII) имеет функция плотности вероятности:^[4][5]

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;c,k)&=ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\\[6pt]f(x;c,k,\lambda )&={\frac {ck}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k-1}\end{aligned}}}$

и кумулятивная функция распределения:

${\displaystyle F(x;c,k)=1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$

${\displaystyle F(x;c,k,\lambda )=1-\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k}}$

Когда c = 1, распределение Burr становится Распределение Парето типа II (Lomax). Когда k = 1, распределение Барра является частным случаем Распределение Champernowne, часто называемый Распределение Fisk.^[6][7]

Распределение заусенцев XII типа является членом системы непрерывных распределений, введенной Ирвинг В. Берр (1942), который включает 12 дистрибутивов.^[8]

Смотрите также

• Распределение Dagum, также известное как обратное распределение заусенцев.

Рекомендации

1. Nadarajah, S .; Pogány, T. K .; Саксена, Р. К. (2012). «О характеристической функции для распределений Бёрра». Статистика. 46 (3): 419–428. Дои:10.1080/02331888.2010.513442.
2. Берр, И. В. (1942). «Кумулятивные частотные функции». Анналы математической статистики. 13 (2): 215–232. Дои:10.1214 / aoms / 1177731607. JSTOR  2235756.
3. Singh, S .; Маддала, Г. (1976). «Функция распределения доходов по размеру». Econometrica. 44 (5): 963–970. Дои:10.2307/1911538. JSTOR  1911538.
4. Маддала, Г.С. (1996) [1983]. Ограниченно-зависимые и качественные переменные в эконометрике. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-33825-5.
5. Тадикамалла, Панду Р. (1980), «Взгляд на заусенцы и родственные распределения», Международный статистический обзор, 48 (3): 337–344, Дои:10.2307/1402945, JSTOR  1402945
6. К. Клейбер и С. Коц (2003). Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках. Нью-Йорк: Вили. См. Разделы 7.3 «Распределение Champernowne» и 6.4.1 «Распределение Fisk».
7. Чамперноун, Д. Г. (1952). «Градация распределения доходов». Econometrica. 20 (4): 591–614. Дои:10.2307/1907644. JSTOR  1907644.
8. См. Kleiber and Kotz (2003), Таблица 2.4, стр. 51, «Распределение заусенцев».

дальнейшее чтение

• Родригес, Р. Н. (1977). "Руководство по распределению Burr Type XII". Биометрика. 64 (1): 129–134. Дои:10.1093 / biomet / 64.1.129.