Распределение фон Мизеса – Фишера - Von Mises–Fisher distribution

В направленная статистика, то распределение фон Мизеса – Фишера (названный в честь Рональд Фишер и Рихард фон Мизес ), это распределение вероятностей на ${displaystyle (p-1)}$-сфера в ${displaystyle mathbb {R} ^{p}}$. Если ${displaystyle p=2}$распределение сводится к распределение фон Мизеса на круг.

В плотность вероятности функция распределения фон Мизеса – Фишера для случайных п-мерный единичный вектор ${displaystyle mathbf {x} ,}$ дан кем-то:

${displaystyle f_{p}(mathbf {x} ;{oldsymbol {mu }},kappa )=C_{p}(kappa )exp left({kappa {oldsymbol {mu }}^{T}mathbf {x} }ight),}$

куда ${displaystyle kappa geq 0,leftVert {oldsymbol {mu }}ightVert =1,}$ и нормировочная постоянная ${displaystyle C_{p}(kappa ),}$ равно

${displaystyle C_{p}(kappa )={frac {kappa ^{p/2-1}}{(2pi )^{p/2}I_{p/2-1}(kappa )}},}$

куда ${displaystyle I_{v}}$ обозначает модифицированный Функция Бесселя первого вида под заказ ${displaystyle v}$. Если ${displaystyle p=3}$, константа нормировки сводится к

${displaystyle C_{3}(kappa )={frac {kappa }{4pi sinh kappa }}={frac {kappa }{2pi (e^{kappa }-e^{-kappa })}}.}$

Параметры ${displaystyle {oldsymbol {mu }},}$ и ${displaystyle kappa ,}$ называются среднее направление и параметр концентрации, соответственно. Чем больше значение ${displaystyle kappa ,}$, тем выше концентрация распределения вокруг среднего направления ${displaystyle {oldsymbol {mu }},}$. Распределение одномодальный за ${displaystyle kappa >0,}$, и равномерна на сфере при ${displaystyle kappa =0,}$.

Распределение фон Мизеса – Фишера для ${displaystyle p=3}$, также называемое распределением Фишера, впервые было использовано для моделирования взаимодействия электрические диполи в электрическое поле (Mardia & Jupp, 1999). Другие приложения находятся в геология, биоинформатика, и интеллектуальный анализ текста.

Отношение к нормальному распределению

Начиная с нормальное распределение

${displaystyle G_{p}(mathbf {x} ;{oldsymbol {mu }},kappa )=left({sqrt {frac {kappa }{2pi }}}ight)^{p}exp left(-kappa {frac {(mathbf {x} -{oldsymbol {mu }})^{2}}{2}}ight),}$

распределение фон Мизеса-Фишера получается разложением

${displaystyle (mathbf {x} -{oldsymbol {mu }})^{2}=mathbf {x} ^{2}+{oldsymbol {mu }}^{2}-2{oldsymbol {mu }}^{T}mathbf {x} ,}$

используя тот факт, что ${displaystyle mathbf {x} }$ и ${displaystyle {oldsymbol {mu }}}$ являются единичными векторами, и пересчитывая нормировочную константу путем интегрирования ${displaystyle mathbf {x} }$ над единичной сферой.

Оценка параметров

Серия N независимый измерения ${displaystyle x_{i}}$ взяты из распределения фон Мизеса – Фишера. Определять

${displaystyle A_{p}(kappa )={frac {I_{p/2}(kappa )}{I_{p/2-1}(kappa )}}.,}$

Затем (Mardia & Jupp, 1999) максимальная вероятность оценки ${displaystyle mu ,}$ и ${displaystyle kappa ,}$ даны достаточная статистика

${displaystyle {ar {x}}={frac {1}{N}}sum _{i}^{N}x_{i},}$

в качестве

${displaystyle mu ={ar {x}}/{ar {R}},{ ext{where }}{ar {R}}=|{ar {x}}|,}$

и

${displaystyle kappa =A_{p}^{-1}({ar {R}}).}$

Таким образом ${displaystyle kappa ,}$ это решение

${displaystyle A_{p}(kappa )={frac {|sum _{i}^{N}x_{i}|}{N}}={ar {R}}.}$

Простое приближение к ${displaystyle kappa }$ есть (Sra, 2011)

${displaystyle {hat {kappa }}={frac {{ar {R}}(p-{ar {R}}^{2})}{1-{ar {R}}^{2}}},}$

но более точную меру можно получить, повторив метод Ньютона несколько раз.

${displaystyle {hat {kappa }}_{1}={hat {kappa }}-{frac {A_{p}({hat {kappa }})-{ar {R}}}{1-A_{p}({hat {kappa }})^{2}-{frac {p-1}{hat {kappa }}}A_{p}({hat {kappa }})}},}$

${displaystyle {hat {kappa }}_{2}={hat {kappa }}_{1}-{frac {A_{p}({hat {kappa }}_{1})-{ar {R}}}{1-A_{p}({hat {kappa }}_{1})^{2}-{frac {p-1}{{hat {kappa }}_{1}}}A_{p}({hat {kappa }}_{1})}}.}$

За N ≥ 25, оцененная сферическая стандартная ошибка среднего направления выборки может быть вычислена как^[1]

${displaystyle {hat {sigma }}=left({frac {d}{N{ar {R}}^{2}}}ight)^{1/2}}$

куда

${displaystyle d=1-{frac {1}{N}}sum _{i}^{N}(mu ^{T}x_{i})^{2}}$

Тогда можно приблизительно рассчитать ${displaystyle 100(1-alpha )\%}$ конус уверенности в ${displaystyle mu }$ с полувертикальным углом

${displaystyle q=arcsin(e_{alpha }^{1/2}{hat {sigma }}),}$ куда ${displaystyle e_{alpha }=-ln(alpha ).}$

Например, для конуса уверенности 95%, ${displaystyle alpha =0.05,e_{alpha }=-ln(0.05)=2.996,}$ и поэтому ${displaystyle q=arcsin(1.731{hat {sigma }}).}$

Обобщения

Матричное распределение Мизеса-Фишера имеет плотность

${displaystyle f_{n,p}(mathbf {X} ;mathbf {F} )propto exp(operatorname {tr} (mathbf {F} ^{T}mathbf {X} ))}$

поддерживается на Коллектор Штифеля из ${displaystyle n imes p}$ ортонормированный p-рамки ${displaystyle mathbf {X} }$, куда ${displaystyle mathbf {F} }$ произвольный ${displaystyle n imes p}$ вещественная матрица.^[2][3]

Смотрите также

• Кент распределение, соответствующее распределение на двумерной единичной сфере
• распределение фон Мизеса, распределение фон Мизеса – Фишера где п = 2, одномерная единичная окружность
• Двумерное распределение фон Мизеса
• Направленная статистика

Рекомендации

1. Эмблтон, Н. И. Фишер, Т. Льюис, Б. Дж. Дж. (1993). Статистический анализ сферических данных (1-е изд. ПБК). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр.115–116. ISBN  0-521-45699-1.
2. Джапп (1979). "Оценки максимального правдоподобия для матричных распределений фон Мизеса-Фишера и Бингема". Анналы статистики. 7 (3): 599–606. Дои:10.1214 / aos / 1176344681.
3. Даунс (1972). «Ориентационная статистика». Биометрика. 59: 665–676. Дои:10.1093 / biomet / 59.3.665.

• Диллон, И., Сра, С. (2003) «Моделирование данных с использованием направленных распределений». Tech. представитель Техасского университета, Остин.
• Банерджи А., Диллон И. С., Гош Дж. И Сра С. (2005). «Кластеризация на единичной гиперсфере с использованием распределений фон Мизеса-Фишера». Журнал исследований в области машинного обучения, 6 (сентябрь), 1345-1382.
• Фишер Р.А., "Рассеивание на сфере". (1953) Proc. Рой. Soc. Лондон сер. А., 217: 295–305
• Мардиа, Канти; Юпп, П. Э. (1999). Направленная статистика. John Wiley & Sons Ltd. ISBN  978-0-471-95333-3.
• Сра, С. (2011). «Небольшая заметка о приближении параметров для распределений фон Мизеса-Фишера: и быстрая реализация I s (x)». Вычислительная статистика. 27: 177–190. CiteSeerX  10.1.1.186.1887. Дои:10.1007 / s00180-011-0232-х.