Распределение полукруга Вигнера - Wigner semicircle distribution

Полукруг Вигнера

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle R>0\!}$ радиус (настоящий )
Поддержка	${\displaystyle x\in [-R;+R]\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}\!}$ за ${\displaystyle -R\leq x\leq R}$
Значить	${\displaystyle 0\,}$
Медиана	${\displaystyle 0\,}$
Режим	${\displaystyle 0\,}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {R^{2}}{4}}\!}$
Асимметрия	${\displaystyle 0\,}$
Ex. эксцесс	${\displaystyle -1\,}$
Энтропия	${\displaystyle \ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}\,}$
MGF	${\displaystyle 2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$
CF	${\displaystyle 2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$

В Распределение полукруга Вигнера, названный в честь физика Юджин Вигнер, это распределение вероятностей поддерживается на интервале [-р, р] график которого функция плотности вероятности ж - полукруг радиуса р с центром в (0, 0), а затем подходящим образом нормализованный (так что это действительно полуэллипс):

${\displaystyle f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,}$

для -р ≤ Икс ≤ р, и ж(Икс) = 0, если | x | > р.

Это распределение возникает как предельное распределение собственные значения из многих случайные симметричные матрицы поскольку размер матрицы приближается к бесконечности.

Это масштабный бета-распространение, точнее, если Y бета-распределен с параметрами α = β = 3/2, то Икс = 2RY – р имеет указанное выше распределение полукруга Вигнера.

Многомерное обобщение - это параболическое распределение в трехмерном пространстве, а именно предельная функция распределения сферического (параметрического) распределения.^[1][2][3][4]${\displaystyle f_{X,Y,Z}(x,y,z)={\frac {3}{4\pi }},\qquad \qquad x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1,}$

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{-{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}{\frac {3\mathrm {d} y}{4\pi }}=3(1-x^{2})/4.}$

Обратите внимание, что R = 1.

В то время как распределение полукруга Вигнера относится к распределению собственных значений, Предположение Вигнера имеет дело с плотностью вероятности различий между последовательными собственными значениями.

Общие свойства

В Полиномы Чебышева второго рода ортогональные многочлены относительно распределения полукруга Вигнера.

Для положительных целых чисел п, 2п-го момент этого распределения

${\displaystyle E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n}C_{n}\,}$

где Икс - любая случайная величина с этим распределением и C_п это пth Каталонский номер

${\displaystyle C_{n}={1 \over n+1}{2n \choose n},\,}$

так что моменты являются каталонскими числами, если р = 2. (Из-за симметрии все моменты нечетного порядка равны нулю.)

Делаем замену ${\displaystyle x=R\cos(\theta )}$ в определяющее уравнение для функция, производящая момент видно, что:

${\displaystyle M(t)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{Rt\cos(\theta )}\sin ^{2}(\theta )\,d\theta }$

которое может быть решено (см. Abramowitz and Stegun §9.6.18) чтобы дать:

${\displaystyle M(t)=2\,{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}}$

где ${\displaystyle I_{1}(z)}$ это модифицированный Функция Бесселя. Аналогичным образом характеристическая функция определяется выражением:^[5][6]

^[7]

${\displaystyle \varphi (t)=2\,{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}}$

где ${\displaystyle J_{1}(z)}$ - функция Бесселя. (См. Абрамовиц и Стегун §9.1.20), отмечая, что соответствующий интеграл с участием ${\displaystyle \sin(Rt\cos(\theta ))}$ равно нулю.)

В пределах ${\displaystyle R}$ приближаясь к нулю, распределение полукругов Вигнера становится Дельта-функция Дирака.

Отношение к свободной вероятности

В свободная вероятность теории, роль полукруглого распределения Вигнера аналогична роли распределения нормальное распределение в классической теории вероятностей. А именно, в свободной теории вероятностей роль кумулянты заняты "свободными кумулянтами", отношение которых к обычным кумулянтам заключается в том, что роль множества всех разбиения конечного множества в теории обычных кумулянтов заменяется набором всех непересекающиеся перегородки конечного множества. Так же, как кумулянты степени более 2 распределение вероятностей все нулевые если и только если распределение нормальное, поэтому свободный кумулянты степени больше 2 в распределении вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение является полукруглым распределением Вигнера.

Сферическое распределение PDF, (X, Y, Z)

Сферическое распределение характеристической функции

Характерные режимы сферических гармоник

Связанные дистрибутивы

Параболическое распределение Вигнера (сферическое)

Вигнер параболический

Параметры	${\displaystyle R>0\!}$ радиус (настоящий )
Поддержка	${\displaystyle x\in [-R;+R]\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {3}{4R^{3}}}\,(R^{2}-x^{2})}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{4R^{3}}}\,(2R-x)\,(R+x)^{2}}$
MGF	${\displaystyle 3\,{\frac {i_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$
CF	${\displaystyle 3\,{\frac {j_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$

Параболический распределение вероятностей^{[нужна цитата ]} поддерживается на интервале [-р, р] радиуса р с центром в (0, 0):

${\displaystyle f(x)={3 \over \ 4R^{3}}{(R^{2}-x^{2})}\,}$

для -р ≤ Икс ≤ р, и ж(Икс) = 0, если | x | > р.

Пример. Совместное распределение

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{+2\pi }\int _{0}^{R}f_{X,Y,Z}(x,y,z)R^{2}\,dr\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi =1;}$

${\displaystyle f_{X,Y,Z}(x,y,z)={\frac {3}{4\pi }}}$

Следовательно, предельная PDF сферического (параметрического) распределения равна ^[1]

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{-{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{X,Y,Z}(x,y,z)\,dy\,dz;}$

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}2{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}\,dy\,;}$

${\displaystyle f_{X}(x)={3 \over \ 4}{(1-x^{2})}\,;}$ такое, что R = 1

Характеристической функцией сферического распределения становится шаблонное умножение ожидаемых значений распределений по X, Y и Z.

Параболическое распределение Вигнера также считается монопольным моментом водородоподобных атомных орбиталей.

Распределение Вигнера n-сфер

Нормализованный N-сфера Функция плотности вероятности поддерживается на интервале [−1, 1] радиуса 1 с центром (0, 0):

${\displaystyle f_{n}(x;n)={(1-x^{2})^{(n-1)/2}\Gamma (1+n/2) \over {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2)}\,(n>=-1)}$,

для −1 ≤ Икс ≤ 1, и ж(Икс) = 0, если | x | > 1.

Пример. Совместное распределение

${\displaystyle \int _{-{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}\int _{0}^{1}f_{X,Y,Z}(x,y,z){{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}^{(n)}}dxdydz=1;}$

${\displaystyle f_{X,Y,Z}(x,y,z)={\frac {3}{4\pi }}}$

Следовательно, маргинальное распределение PDF равно ^[1]

${\displaystyle f_{X}(x;n)={(1-x^{2})^{(n-1)/2)}\Gamma (1+n/2) \over \ {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2)}\,;}$ такое, что R = 1

Кумулятивная функция распределения (CDF) равна

${\displaystyle F_{X}(x)={2x\Gamma (1+n/2)_{2}F_{1}(1/2,(1-n)/2;3/2;x^{2}) \over \ {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2)}\,;}$ такие, что R = 1 и n> = -1

Характеристическая функция (CF) PDF связана с бета-распространение как показано ниже

${\displaystyle CF(t;n)={_{1}F_{1}(n/2,;n;jt/2)}\,\urcorner (\alpha =\beta =n/2);}$

В терминах функций Бесселя это

${\displaystyle CF(t;n)={\Gamma (n/2+1)J_{n/2}(t)/(t/2)^{(n/2)}}\,\urcorner (n>=-1);}$

Необработанные моменты PDF

${\displaystyle \mu '_{N}(n)=\int _{-1}^{+1}x^{N}f_{X}(x;n)dx={(1+(-1)^{N})\Gamma (1+n/2) \over \ {2{\sqrt {\pi }}}\Gamma ((2+n+N)/2)};}$

Центральные моменты

${\displaystyle \mu _{0}(x)=1}$

${\displaystyle \mu _{1}(n)=\mu _{1}'(n)}$

${\displaystyle \mu _{2}(n)=\mu _{2}'(n)-\mu _{1}'^{2}(n)}$

${\displaystyle \mu _{3}(n)=2\mu _{1}'^{3}(n)-3\mu _{1}'(n)\mu _{2}'(n)+\mu _{3}'(n)}$

${\displaystyle \mu _{4}(n)=-3\mu _{1}'^{4}(n)+6\mu _{1}'^{2}(n)\mu _{2}'(n)-4\mu '_{1}(n)\mu '_{3}(n)+\mu '_{4}(n)}$

Соответствующие моменты вероятности (среднее значение, дисперсия, перекос, эксцесс и эксцесс) следующие:

${\displaystyle \mu (x)=\mu _{1}'(x)=0}$

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\mu _{2}'(n)-\mu ^{2}(n)=1/(2+n)}$

${\displaystyle \gamma _{1}(n)=\mu _{3}/\mu _{2}^{3/2}=0}$

${\displaystyle \beta _{2}(n)=\mu _{4}/\mu _{2}^{2}=3(2+n)/(4+n)}$

${\displaystyle \gamma _{2}(n)=\mu _{4}/\mu _{2}^{2}-3=-6/(4+n)}$

Исходные моменты характеристической функции:

${\displaystyle \mu '_{N}(n)=\mu '_{N;E}(n)+\mu '_{N;O}(n)=\int _{-1}^{+1}cos^{N}(xt)f_{X}(x;n)dx+\int _{-1}^{+1}sin^{N}(xt)f_{X}(x;n)dx;}$

Для равномерного распределения моменты

${\displaystyle \mu _{1}'(t;n:E)=CF(t;n)}$

${\displaystyle \mu _{1}'(t;n:O)=0}$

${\displaystyle \mu _{1}'(t;n)=CF(t;n)}$

${\displaystyle \mu _{2}'(t;n:E)=1/2(1+CF(2t;n))}$

${\displaystyle \mu _{2}'(t;n:O)=1/2(1-CF(2t;n))}$

${\displaystyle \mu '_{2}(t;n)=1}$

${\displaystyle \mu _{3}'(t;n:E)=(CF(3t)+3CF(t;n))/4}$

${\displaystyle \mu _{3}'(t;n:O)=0}$

${\displaystyle \mu _{3}'(t;n)=(CF(3t;n)+3CF(t;n))/4}$

${\displaystyle \mu _{4}'(t;n:E)=(3+4CF(2t;n)+CF(4t;n))/8}$

${\displaystyle \mu _{4}'(t;n:O)=(3-4CF(2t;n)+CF(4t;n))/8}$

${\displaystyle \mu _{4}'(t;n)=(3+CF(4t;n))/4}$

Следовательно, моменты КФ (при N = 1) равны

${\displaystyle \mu (t;n)=\mu _{1}'(t)=CF(t;n)=_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})}$

${\displaystyle \sigma ^{2}(t;n)=1-|CF(t;n)|^{2}=1-|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-t^{2}/4)|^{2}}$

${\displaystyle \gamma _{1}(n)={\mu _{3} \over \mu _{2}^{3/2}}={_{0}F_{1}({2+n \over 2},-9{t^{2} \over 4})-_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})+8|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})|^{3} \over 4(1-|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}))^{2}|^{(3/2)}}}$

${\displaystyle \beta _{2}(n)={\mu _{4} \over \mu _{2}^{2}}={3+_{0}F_{1}({2+n \over 2},-4t^{2})-(4_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})(_{0}F_{1}({2+n \over 2},-9{t^{2} \over 4}))+3_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})(-1+|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}|^{2})) \over 4(-1+|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}))^{2}|^{2}}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(n)=\mu _{4}/\mu _{2}^{2}-3={-9+_{0}F_{1}({2+n \over 2},-4t^{2})-(4_{0}F_{1}({2+n \over 2},-t^{2}/4)(_{0}F_{1}({2+n \over 2},-9{t^{2} \over 4}))-9_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})+6|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}|^{3}) \over 4(-1+|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}))^{2}|^{2}}}$

Искажение и эксцесс также можно упростить с помощью функций Бесселя.

Энтропия рассчитывается как

${\displaystyle H_{N}(n)=\int _{-1}^{+1}f_{X}(x;n)\ln(f_{X}(x;n))dx}$

Первые 5 моментов (n = от -1 до 3), такие что R = 1, являются

${\displaystyle \ -\ln(2/\pi );n=-1}$

${\displaystyle \ -\ln(2);n=0}$

${\displaystyle \ -1/2+\ln(\pi );n=1}$

${\displaystyle \ 5/3-\ln(3);n=2}$

${\displaystyle \ -7/4-\ln(1/3\pi );n=3}$

Распределение Вигнера N-сферы с применением нечетной симметрии

Маргинальное распределение PDF с нечетной симметрией равно ^[1]

${\displaystyle f{_{X}}(x;n)={(1-x^{2})^{(n-1)/2)}\Gamma (1+n/2) \over \ {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2)}\operatorname {sgn}(x)\,;}$ такое, что R = 1

Следовательно, КФ выражается через функции Струве

${\displaystyle CF(t;n)={\Gamma (n/2+1)H_{n/2}(t)/(t/2)^{(n/2)}}\,\urcorner (n>=-1);}$

«Функция Струве возникает в задаче о жестко-поршневом радиаторе, установленном в бесконечной перегородке, имеющем сопротивление излучения, равное» ^[8]

${\displaystyle Z={\rho c\pi a^{2}[R_{1}(2ka)-iX_{1}(2ka)],}}$

${\displaystyle R_{1}={1-{2J_{1}(x) \over 2x},}}$

${\displaystyle X_{1}={{2H_{1}(x) \over x},}}$

Пример (нормализованная мощность принятого сигнала): квадратурные члены

Нормализованная мощность принятого сигнала определяется как

${\displaystyle |R|={{1 \over N}|}\sum _{k=1}^{N}\exp[ix_{n}t]|}$

и используя стандартные квадратурные термины

${\displaystyle x={1 \over N}\sum _{k=1}^{N}\cos(x_{n}t)}$

${\displaystyle y={1 \over N}\sum _{k=1}^{N}\sin(x_{n}t)}$

Следовательно, для равномерного распределения мы расширяем NRSS так, чтобы x = 1 и y = 0, получая

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=x+{3 \over 2}y^{2}-{3 \over 2}xy^{2}+{1 \over 2}x^{2}y^{2}+O(y^{3})+O(y^{3})(x-1)+O(y^{3})(x-1)^{2}+O(x-1)^{3}}$

В развернутом виде Характеристическая функция мощности принятого сигнала станет ^[9]

${\displaystyle E[x]={1 \over N}CF(t;n)}$

${\displaystyle E[y^{2}]={1 \over 2N}(1-CF(2t;n))}$

${\displaystyle E[x^{2}]={1 \over 2N}(1+CF(2t;n))}$

${\displaystyle E[xy^{2}]={t^{2} \over 3N^{2}}CF(t;n)^{3}+({N-1 \over 2N^{2}})(1-tCF(2t;n))CF(t;n)}$

${\displaystyle E[x^{2}y^{2}]={1 \over 8N^{3}}(1-CF(4t;n))+({N-1 \over 4N^{3}})(1-CF(2t;n)^{2})+({N-1 \over 3N^{3}})t^{2}CF(t;n)^{4}+({(N-1)(N-2) \over N^{3}})CF(t;n)^{2}(1-CF(2t;n))}$

Смотрите также

• Предположение Вигнера
• W.s.d. это предел Распределения Кестена – Маккея, как параметр d стремится к бесконечности.
• В теоретико-числовой В литературе распределение Вигнера иногда называют распределением Сато – Тейта. Увидеть Гипотеза Сато – Тэйта.
• Марченко – Пастур раздача или Свободное распределение Пуассона

использованная литература

1. Buchanan, K .; Хафф, Г. Х. (июль 2011 г.). «Сравнение геометрически связанных случайных массивов в евклидовом пространстве». 2011 Международный симпозиум IEEE по антеннам и распространению сигнала (APSURSI): 2008–2011. Дои:10.1109 / APS.2011.5996900. ISBN  978-1-4244-9563-4.
2. Buchanan, K .; Flores, C .; Wheeland, S .; Jensen, J .; Grayson, D .; Хафф, Г. (май 2017 г.). «Формирование диаграммы направленности для радиолокационных приложений с использованием случайных решеток с круговым сужением». Конференция IEEE Radar 2017 (RadarConf): 0112–0117. Дои:10.1109 / RADAR.2017.7944181. ISBN  978-1-4673-8823-8.
3. Buchanan, K .; Flores, C .; Wheeland, S .; Jensen, J .; Grayson, D .; Хафф, Г. (май 2017 г.). «Экспериментальное формирование луча передачи с использованием кругового канонического семейства, привязанного к геометрическому месту квадратичных корней». Конференция IEEE Radar 2017 (RadarConf): 0083–0088. Дои:10.1109 / RADAR.2017.7944176. ISBN  978-1-4673-8823-8.
4. https://ieeexplore.ieee.org/document/9034474
5. Бьюкенен, Кристофер; Флорес, Карлос; Уилланд, Сара; Дженсен, Джеффри; Грейсон, Дэвид; Хафф, Грегори (2017). «Формирование диаграммы направленности для радиолокационных приложений с использованием случайных решеток с круговым сужением». Конференция IEEE Radar 2017 (радар Конф). С. 0112–0117. Дои:10.1109 / RADAR.2017.7944181. ISBN  978-1-4673-8823-8.
6. https://oaktrust.library.tamu.edu/handle/1969.1/157918
7. Overturf, Дрю; Бьюкенен, Кристофер; Дженсен, Джеффри; Уилланд, Сара; Хафф, Грегори (2017). «Исследование диаграмм направленности из объемно распределенных фазированных решеток». MILCOM 2017-2017 Конференция по военной связи IEEE (MILCOM). С. 817–822. Дои:10.1109 / MILCOM.2017.8170756. ISBN  978-1-5386-0595-0. https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8170756/
8. В., Вайсштейн, Эрик. «Функция Струве». mathworld.wolfram.com. Получено 2017-07-28.
9. «Расширенное формирование луча для распределенных и многолучевых сетей» (PDF).

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Довер, 1972.

внешняя ссылка

• Эрик В. Вайсштейн и другие., Полукруг Вигнера