Распределение Ландау - Landau distribution

Распределение Ландау

Функция плотности вероятности
Параметры	${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ — параметр масштаба ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$ — параметр местоположения
Поддерживать	${\displaystyle \mathbb {R} }$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt}$
Иметь в виду	Неопределенный
Дисперсия	Неопределенный
MGF	Неопределенный
CF	${\displaystyle \exp \left(it\mu -{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$

В теория вероятности, то Распределение Ландау^[1] это распределение вероятностей названный в честь Лев Ландау. Из-за "толстого" хвоста распределения моменты распределения, как и среднее значение или дисперсия, не определены. Распределение - это частный случай стабильное распространение.

Определение

В функция плотности вероятности, как первоначально написано Ландау, определяется сложный интеграл:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}$

куда а произвольный положительный настоящий номер, что означает, что путь интегрирования может быть любым, параллельным мнимой оси, пересекающим действительную положительную полуось, и ${\displaystyle \log }$ относится к натуральный логарифм.

Следующий действительный интеграл эквивалентен приведенному выше:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$

Полное семейство распределений Ландау получается расширением исходного распределения до семья в масштабе местности из стабильные дистрибутивы с параметрами ${\displaystyle \alpha =1}$ и ${\displaystyle \beta =1}$,^[2] с характеристическая функция:^[3]

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$

куда ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ и ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$, что дает функцию плотности:

${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,}$

Отметим, что исходный вид ${\displaystyle p(x)}$ получается для ${\displaystyle \mu =0}$ и ${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$, а следующее является приближением^[4] из ${\displaystyle p(x;\mu ,c)}$ за ${\displaystyle \mu =0}$ и ${\displaystyle c=1}$:

${\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}$

Связанные дистрибутивы

• Если ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$ тогда ${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,}$.
• Распределение Ландау - это стабильное распространение с параметром устойчивости ${\displaystyle \alpha }$ и параметр асимметрии ${\displaystyle \beta }$ оба равны 1.

Рекомендации

1. Ландау, Л. (1944). «О потере энергии быстрых частиц при ионизации». J. Phys. (СССР). 8: 201.
2. Нежный, Джеймс Э. (2003). Генерация случайных чисел и методы Монте-Карло. Статистика и вычисления (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 196. Дои:10.1007 / b97336. ISBN  978-0-387-00178-4.
3. Золотарев, В. (1986). Одномерные устойчивые распределения. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-4519-5.
4. Behrens, S.E .; Мелиссинос, А. Univ. препринта Рочестера UR-776 (1981).