Распределение Гомперца - Gompertz distribution

Распределение Гомперца

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	форма ${\displaystyle \eta >0\,\!}$, шкала ${\displaystyle b>0\,\!}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right)}$
CDF	${\displaystyle 1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right)}$
Иметь в виду	${\displaystyle (1/b)e^{\eta }{\text{Ei}}\left(-\eta \right)}$ ${\displaystyle {\text{where Ei}}\left(z\right)=\int \limits _{-z}^{\infty }\left(e^{-v}/v\right)dv}$
Медиана	${\displaystyle \left(1/b\right)\ln \left[\left(-1/\eta \right)\ln \left(1/2\right)+1\right]}$
Режим	${\displaystyle =\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right)\ }$ ${\displaystyle {\text{with }}0<{\text{F}}\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121,0<\eta <1}$ ${\displaystyle =0,\quad \eta \geq 1}$
Дисперсия	${\displaystyle \left(1/b\right)^{2}e^{\eta }\{-2\eta {\ }_{3}{\text{F}}_{3}\left(1,1,1;2,2,2;-\eta \right)+\gamma ^{2}}$${\displaystyle +\left(\pi ^{2}/6\right)+2\gamma \ln \left(\eta \right)+[\ln \left(\eta \right)]^{2}-e^{\eta }[{\text{Ei}}\left(-\eta \right)]^{2}\}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ where }}&\gamma {\text{ is the Euler constant: }}\,\!\\&\gamma =-\psi \left(1\right)={\text{0.577215... }}\end{aligned}}}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ and }}{}_{3}{\text{F}}_{3}&\left(1,1,1;2,2,2;-z\right)=\\&\sum _{k=0}^{\infty }\left[1/\left(k+1\right)^{3}\right]\left(-1\right)^{k}\left(z^{k}/k!\right)\end{aligned}}}$
MGF	${\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tx}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}$ ${\displaystyle {\text{with E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0}$

В вероятность и статистика, то Распределение Гомперца это непрерывное распределение вероятностей, названный в честь Бенджамин Гомпертц. Распределение Гомпертца часто применяется для описания распределения продолжительности жизни взрослых людей по демографы^[1][2] и актуарии.^[3][4] Связанные области науки, такие как биология^[5] и геронтология^[6] также рассматривали распределение Гомперца для анализа выживаемости. Совсем недавно компьютерные ученые также начали моделировать частоту отказов компьютерного кода с помощью распределения Гомпертца.^[7] В маркетинговой науке он использовался как моделирование на индивидуальном уровне для Значение жизни клиентов моделирование.^[8] В теория сети, особенно Модель Эрдеша – Реньи, длина прогулки случайного самопроизвольная прогулка (SAW) распределяется по распределению Гомпертца.^[9]

Технические характеристики

Функция плотности вероятности

В функция плотности вероятности распределения Гомперца:

${\displaystyle f\left(x;\eta ,b\right)=b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right){\text{for }}x\geq 0,\,}$

куда ${\displaystyle b>0\,\!}$ это параметр масштаба и ${\displaystyle \eta >0\,\!}$ это параметр формы распределения Гомперца. В актуарных и биологических науках, а также в демографии распределение Гомперца параметризуется несколько иначе (Закон смертности Гомперца-Мейкхема ).

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения распределения Гомперца:

${\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),}$

куда ${\displaystyle \eta ,b>0,}$ и ${\displaystyle x\geq 0\,.}$

Функция создания момента

Функция, производящая момент:

${\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tX}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}$

куда

${\displaystyle {\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0.}$

Характеристики

Распределение Гомперца - это гибкое распределение, которое можно наклонять вправо и влево. Его функция опасности ${\displaystyle h(x)=\eta be^{bx}}$ является выпуклой функцией от ${\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)}$. Модель может быть вписана в парадигму имитации инноваций с помощью ${\displaystyle p=\eta b}$ как коэффициент инновационности и ${\displaystyle b}$ как коэффициент имитации. Когда ${\displaystyle t}$ становится большим, ${\displaystyle z(t)}$ подходы ${\displaystyle \infty }$. Модель также может принадлежать к парадигме склонности к принятию с ${\displaystyle \eta }$ как склонность к усыновлению и ${\displaystyle b}$ как общая привлекательность нового предложения.

Формы

Функция плотности Гомперца может принимать разные формы в зависимости от значений параметра формы. ${\displaystyle \eta \,\!}$:

• Когда ${\displaystyle \eta \geq 1,\,}$ функция плотности вероятности имеет режим 0.
• Когда ${\displaystyle 0<\eta <1,\,}$ функция плотности вероятности имеет режим при

${\displaystyle x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{with }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121}$

Расхождение Кульбака-Лейблера

Если ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ являются функциями плотности вероятности двух распределений Гомперца, то их Расхождение Кульбака-Лейблера дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})}{f_{2}(x;b_{2},\eta _{2})}}dx\\&=\ln {\frac {e^{\eta _{1}}\,b_{1}\,\eta _{1}}{e^{\eta _{2}}\,b_{2}\,\eta _{2}}}+e^{\eta _{1}}\left[\left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}-1\right)\,\operatorname {Ei} (-\eta _{1})+{\frac {\eta _{2}}{\eta _{1}^{\frac {b_{2}}{b_{1}}}}}\,\Gamma \left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}+1,\eta _{1}\right)\right]-(\eta _{1}+1)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \operatorname {Ei} (\cdot )}$ обозначает экспоненциальный интеграл и ${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\cdot )}$ это верхний неполная гамма-функция.^[10]

Связанные дистрибутивы

• Если Икс определяется как результат выборки из Гамбель раздача до отрицательного значения Y производится, и установка Икс=−Y, тогда Икс имеет распределение Гомперца.
• В гамма-распределение это естественный сопряженный предшествующий до вероятности Гомперца с известным параметром масштаба ${\displaystyle b\,\!.}$^[8]
• Когда ${\displaystyle \eta \,\!}$ варьируется в зависимости от гамма-распределение с параметром формы ${\displaystyle \alpha \,\!}$ и масштабный параметр ${\displaystyle \beta \,\!}$ (среднее = ${\displaystyle \alpha /\beta \,\!}$), распределение ${\displaystyle x}$ это Гамма / Гомпертц.^[8]

Распределение Гомперца соответствует максимальному месячному количеству осадков за 1 день ^[11]

Приложения

• В гидрология распределение Гомперца применяется к экстремальным явлениям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и сток рек. На синем рисунке показан пример подгонки распределения Гомпертца к ранжированным годовым максимальным однодневным осадкам, показывающий также 90% пояс уверенности на основе биномиальное распределение. Данные об осадках представлены построение позиций как часть совокупный частотный анализ.

Смотрите также

• Закон смертности Гомперца-Мейкхема
• Функция Гомперца
• Значение жизни клиентов
• Гамма-распределение Гомперца

Примечания

1. Ваупель, Джеймс У. (1986). «Как изменение возрастной смертности влияет на продолжительность жизни» (PDF). Демографические исследования. 40 (1): 147–157. Дои:10.1080/0032472031000141896. PMID  11611920.
2. Престон, Сэмюэл Х .; Heuveline, Патрик; Гийо, Мишель (2001). Демография: измерение и моделирование демографических процессов. Оксфорд: Блэквелл.
3. Бенджамин, Бернард; Haycocks, H.W .; Поллард, Дж. (1980). Анализ смертности и другая актуарная статистика. Лондон: Хайнеманн.
4. Willemse, W. J .; Коппелаар, Х. (2000). «Выявление знаний о законе смертности Гомперца». Скандинавский актуарный журнал. 2000 (2): 168–179. Дои:10.1080/034612300750066845.
5. Экономос, А. (1982). «Скорость старения, скорость умирания и механизм смертности». Архив геронтологии и гериатрии. 1 (1): 46–51. Дои:10.1016/0167-4943(82)90003-6. PMID  6821142.
6. Brown, K .; Форбс, В. (1974). «Математическая модель процессов старения». Журнал геронтологии. 29 (1): 46–51. Дои:10.1093 / geronj / 29.1.46. PMID  4809664.
7. Ohishi, K .; Okamura, H .; Дохи, Т. (2009). «Модель надежности программного обеспечения Gompertz: алгоритм оценки и эмпирическая проверка». Журнал систем и программного обеспечения. 82 (3): 535–543. Дои:10.1016 / j.jss.2008.11.840.
8. Bemmaor, Albert C .; Глади, Николас (2012). «Моделирование покупательского поведения с внезапной« смертью »: гибкая жизненная модель клиента». Наука управления. 58 (5): 1012–1021. Дои:10.1287 / mnsc.1110.1461.
9. Тишби, Бихам, Кацав (2016), Распределение длин пути самопроизвольных прогулок в сетях Эрдеша-Реньи, arXiv:1603.06613.
10. Бокхэдж К. (2014), Характеризации и расходимость Кульбака-Лейблера распределений Гомперца, arXiv:1402.3193.
11. Калькулятор для подбора распределения вероятностей [1]

Рекомендации

• Bemmaor, Albert C .; Глади, Николас (2011). «Реализация модели Gamma / Gompertz / NBD в MATLAB» (PDF). Сержи-Понтуаз: Бизнес-школа ESSEC.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Гомпертц, Б. (1825). «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизненных обстоятельств». Философские труды Лондонского королевского общества. 115: 513–583. Дои:10.1098 / рстл.1825.0026. JSTOR  107756.
• Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения. 2 (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 25–26. ISBN  0-471-58494-0.
• Шейх, А.К .; Boah, J. K .; Юнас, М. (1989). «Усеченная модель экстремальных значений для надежности трубопроводов». Техника надежности и системная безопасность. 25 (1): 1–14. Дои:10.1016/0951-8320(89)90020-3.