Распределение Erlang - Erlang distribution

Erlang

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \},}$ форма ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty ),}$ ставка альт .: ${\displaystyle \mu =1/\lambda ,}$ шкала
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}}$
CDF	${\displaystyle P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}}$
Медиана	Нет простой закрытой формы
Режим	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}(k-1)}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda ^{2}}}}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Энтропия	${\displaystyle (1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k}$
MGF	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}}$ за ${\displaystyle t<\lambda }$
CF	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}}$

В Распределение Erlang является двухпараметрическим семейством непрерывных распределения вероятностей с поддержка ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$. Вот два параметра:

• положительное целое число ${\displaystyle k,}$ "форма" и
• положительное действительное число ${\displaystyle \lambda ,}$ оценка". Масштаб", ${\displaystyle \mu ,}$ вместо этого иногда используется величина, обратная ставке.

Распределение Эрланга с параметром формы ${\displaystyle k=1}$ упрощается до экспоненциальное распределение. Это частный случай гамма-распределение. Это распределение суммы ${\displaystyle k}$ независимый экспоненциальные переменные со средним ${\displaystyle 1/\lambda }$ каждый.

Распределение Erlang было разработано А. К. Эрланг проверить количество телефонных звонков, которые могут быть сделаны одновременно операторам коммутационных станций. Эта работа по телефону транспортная инженерия был расширен с учетом времени ожидания в системы массового обслуживания в целом. Распределение также используется в области случайные процессы.

Характеристика

Функция плотности вероятности

В функция плотности вероятности распределения Эрланга

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0,}$

Параметр k называется параметром формы, а параметр ${\displaystyle \lambda }$ называется параметром скорости.

Альтернативная, но эквивалентная параметризация использует параметр масштаба ${\displaystyle \mu }$, который является обратным параметру скорости (т. е. ${\displaystyle \mu =1/\lambda }$):

${\displaystyle f(x;k,\mu )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\mu }}}}{\mu ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{for }}x,\mu \geq 0.}$

Когда параметр масштаба ${\displaystyle \mu }$ равно 2, распределение упрощается до распределение хи-квадрат с 2k степени свободы. Поэтому его можно рассматривать как обобщенное распределение хи-квадрат для четного числа степеней свободы.

Кумулятивная функция распределения (CDF)

В кумулятивная функция распределения распределения Эрланга

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},}$

куда ${\displaystyle \gamma }$ это нижний неполная гамма-функция и ${\displaystyle P}$ это нижняя регуляризованная гамма-функция CDF можно также выразить как

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.}$

Медиана

Известно асимптотическое разложение для медианы распределения Эрланга,^[1] для которых могут быть вычислены коэффициенты и известны границы.^[2][3] Приближение ${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),}$ т.е. ниже среднего ${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}.}$^[4]

Генерация случайных величин, распределенных по Эрлангу

Случайные переменные, распределенные по Эрлангу, могут быть сгенерированы из равномерно распределенных случайных чисел (${\displaystyle U\in (0,1]}$) по следующей формуле:^[5]

${\displaystyle E(k,\lambda )\approx -{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}}$

Приложения

Время ожидания

События, которые происходят независимо с некоторой средней скоростью, моделируются с помощью Пуассоновский процесс. Время ожидания между k вхождения события распределены по Erlang. (Связанный с этим вопрос о количестве событий за данный промежуток времени описывается распределение Пуассона.)

Распределение Эрланга, которое измеряет время между входящими вызовами, можно использовать вместе с ожидаемой продолжительностью входящих вызовов для получения информации о нагрузке трафика, измеряемой в эрлангах. Это можно использовать для определения вероятности потери или задержки пакета в соответствии с различными предположениями о том, прерываются ли заблокированные вызовы (формула Эрланга B) или помещаются в очередь до обслуживания (формула Эрланга C). В Эрланг-Б и C формулы до сих пор используются в повседневной жизни для моделирования трафика для таких приложений, как проектирование колл-центры.

Другие приложения

Возрастное распределение рак заболеваемость часто следует распределению Эрланга, тогда как параметры формы и масштаба предсказывают, соответственно, количество события водителя и временной интервал между ними.^[6] В более общем смысле, распределение Эрланга было предложено как хорошее приближение распределения времени клеточного цикла в результате многоступенчатых моделей.^[7][8]

Он также использовался в экономике бизнеса для описания времени между покупками.^[9]

Характеристики

• Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$ тогда ${\displaystyle a\cdot X\sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)}$ с ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )}$ и ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )}$ тогда ${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )}$

Связанные дистрибутивы

• Распределение Эрланга - это распределение суммы k независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждый из которых экспоненциальное распределение. Долгосрочная скорость, с которой происходят события, является обратной величиной ожидания ${\displaystyle X,}$ это, ${\displaystyle \lambda /k.}$ Частота (возрастных событий) распределения Эрланга для ${\displaystyle k>1,}$ монотонный в ${\displaystyle x,}$ увеличивается с 0 на ${\displaystyle x=0,}$ к ${\displaystyle \lambda }$ так как ${\displaystyle x}$ стремится к бесконечности.^[10]
  • То есть: если ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}$ тогда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$
• Из-за факториальной функции в знаменателе PDF и CDF, распределение Эрланга определяется только тогда, когда параметр k положительное целое число. Фактически, это распределение иногда называют Эрланг-k распространение (например, распределение Erlang-2 - это распределение Erlang с ${\displaystyle k=2}$). В гамма-распределение обобщает распределение Эрланга, позволяя k быть любым положительным действительным числом, используя гамма-функция вместо факториальной функции.
  • То есть: если k является целое число и ${\displaystyle X\sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),}$ тогда ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$
• Если ${\displaystyle U\sim \operatorname {Exponential} (\lambda )}$ и ${\displaystyle V\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$ тогда ${\displaystyle {\frac {U}{V}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)}$
• Распределение Эрланга - это частный случай Распределение Пирсона типа III^{[нужна цитата ]}
• Распределение Эрланга связано с распределение хи-квадрат. Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda ),}$ тогда ${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.}$^{[нужна цитата ]}
• Распределение Эрланга связано с распределение Пуассона посредством Пуассоновский процесс: Если ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ такой, что ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}$ тогда ${\displaystyle S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$ и ${\displaystyle \operatorname {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.}$ Принимая различия ${\displaystyle n}$ дает распределение Пуассона.

Смотрите также

• Распределение Коксана
• Расчет Engset
• Эрланг Б формула
• Единица Эрланга
• Распределение фазового типа
• Модель генерации трафика

Примечания

1. Чой, К. П. (1994). «О медианах гамма-распределений и уравнении Рамануджана». Труды Американского математического общества. 121: 245–251. Дои:10.1090 / S0002-9939-1994-1195477-8. JSTOR  2160389.
2. Adell, J. A .; Йодра, П. (2007). «Об уравнении Рамануджана, связанном с медианой гамма-распределения». Труды Американского математического общества. 360 (7): 3631. Дои:10.1090 / S0002-9947-07-04411-X.
3. Йодра, П. (2012). «Вычисление асимптотического разложения медианы распределения Эрланга». Математическое моделирование и анализ. 17 (2): 281–292. Дои:10.3846/13926292.2012.664571.
4. Баннехека, BMSG; Эканаяке, GEMUPD (2009). «Новая точечная оценка медианы гамма-распределения». Viyodaya J Science. 14: 95–103.
5. Resa. «Статистические распределения - Распределение Эрланга - Генератор случайных чисел». www.xycoon.com. Получено 4 апреля 2018.
6. Беликов, Алексей В. (22 сентября 2017 г.). «Количество ключевых канцерогенных событий можно предсказать по заболеваемости раком». Научные отчеты. 7 (1). Дои:10.1038 / s41598-017-12448-7. ЧВК  5610194. PMID  28939880.
7. Йетс, Кристиан А. (21 апреля 2017 г.). «Многоступенчатое представление клеточной пролиферации как марковского процесса». Вестник математической биологии. 79 (1): 2905–2928. Дои:10.1007 / s11538-017-0356-4.
8. Гаваньин, Энрико (14 октября 018 г.). «Скорость вторжения моделей миграции клеток с реалистичным распределением времени клеточного цикла». Журнал теоретической биологии. 79 (1): 91–99. arXiv:1806.03140. Дои:10.1016 / j.jtbi.2018.09.010.
9. К. Чатфилд и Г.Дж. Гудхардт: «Модель потребительских закупок с учетом времени межпокупок в Эрланге»; Журнал Американской статистической ассоциации, Декабрь 1973 г., том 68, стр 828-835
10. Кокс, Д. (1967) Теория обновления, стр. 20, Метуэн.

Рекомендации

• Ян Ангус «Введение в Erlang B и Erlang C», Telemanagement # 187 (документ PDF - содержит термины и формулы, а также краткую биографию)
• Стюарт Харрис «Расчеты Erlang против моделирования»

внешняя ссылка

• Распределение Erlang
• Определение размеров ресурсов с использованием Erlang-B и Erlang-C